Vorbereitungsmaterial

Mathematische Grundlagen sind auch für Techniker wichtig!

--------------------Vorbereitungsmaterial Mathematik--------------------

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Wiederholen Sie die folgende Begriffe und Sachverhalte:

1.Elementarmathematik: Umformung von Ausdrücken, Bruchrechnung, größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches, Lösung linearer und quadratischer Gleichungen, binomische Formeln und binomischer Satz für n $\leq$ 4, Binomial- koeffizienten, Pascalsches Dreieck, Potenz- und Logarithmengesetze, Lösung linearer und quadratischer Ungleichungen, Dreisatzrechnung, Beziehungen am rechtwinkligen Dreieck

2. Grundbegriffe der Mengenlehre: Definition einer Menge, Eigenschaften (Abzählbarkeit, Beschränktheit, Gleichheit zweier Mengen, Teil- und leere Menge), Vereinigungs-, Schnitt- und Differenzmenge, Komplement einer Menge, Gesetze und Rechenregeln, Morgansche Gesetze, Abbildungsbegriff

3. Funktionen einer reellen Variablen: Definition als Abbildung, Definitionsbereich, Wertevorrat, elementare Eigenschaften (Periodizität, Beschränktheit, Monotonie, Symmetrie, Umkehrbarkeit), elementare Funktionen (lineare und quadratische Funktion, Wurzelfunktion, Exponential- und Logarithmusfunktion, trigonometrische Funktionen), Streckung/ Stauchung/Spiegelung/achsenparallele Verschiebung ("Transformationen"), Grenzwert einer Funktion, Begriff und geometrische Interpretation der Ableitung

4. Zahlenfolgen und ihre Eigenschaften: Begriff, Eigenschaften (Beschränktheit, Monotonie, Konvergenz), Grenzwert, Grenzwertsätze

Literatur (5 - 9 sind auch für das Studium geeignet):

1. E. Berane u.a.: Wiederholungsprogramm Gleichungen und Funktionen, H.-Deutsch-Verlag

2. M.Knorrenschild: Vorkurs Mathematik, Fachbuchverlag, Leipzig

3. J. Wendeler: Vorkurs der Ingenieurmathematik, H.- Deutsch-Verlag

4. W. Schäfer, K. Georgi: Mathematik-Vorkurs, Teubner-Verlag

5. W. Schirotzek, S. Scholz: Starthilfe Mathematik, Teubner-Verlag

6. G.Engeln-Müllges, W.Schäfer, G. Trippler: Kompaktkurs Ingenieurmathematik, Fachbuchverlag

7. C.W. Turtur: Prüfungstrainer Mathematik, Teubner-Verlag

8. L.Papula: Mathematik für Ingenieure I, II und Aufgabensammlung, Vieweg-Verlag

9. R.Stingl: Mathematik für Ingenieure, Hanser-Verlag

10. H.-J.Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln, Fachbuchverlag

Fertigen Sie zu folgenden Sachverhalten Übersichten an:

Pascalsche Dreieck bis binomische Formeln für .
alle Wurzel- und Logarithmengesetze (man gebe je Gesetz zwei Beispiele an).
Beziehungen, die am rechtwinkligen Dreieck gelten (man nenne mindestens zehn)
elementaren Eigenschaften einer Funktion: Beschränktheit, Monotonie, Symmetrie, Periodizität, Umkehrbarkeit (man erläutere zusätzlich jede Eigenschaft an einem Beispiel).
elementare Funktionen (man trage diese jeweils per Hand in ein Koordinatensystem ein)

a) $y=f_{1}(x)=x^{2},$ $y=f_{2}(x)=x^{3},$ $y=f_{3}(x)=x^{4},$ $y=f_{4}(x)=-x^{2}$

b)

c) $y=f_{1}(x)=e^{x},$

c) $y=f_{1}(x)=\sin x,$

d) $y=f_{1}(x)=\ln x,$

Überprüfen Sie an folgenden Aufgaben Ihre Kenntnisse:

Man bestimme den Binomialkoeffizienten
a) Gesucht sind alle reellen Zahlen , für die gilt.

b) Welche reellen Zahlen erfüllen die Ungleichung $\frac 2{x-3}\leq 5$ ?

c) Man vereinfache den folgenden Ausdruck weitestgehend:

d) Man stellen die folgende Formel nach um:
Gegeben sei die Zahlenfolge mit dem allgemeinen Glied . Welche der folgenden Aussagen trifft zu (Begründen Sie Ihre Aussagen ausreichend!):

a) Die Zahlenfolge ist nicht monoton fallend.

b) Die Zahlenfolge ist beschränkt, die größte untere Schranke ist

c) Die Zahlenfolge ist eine Nullfolge.
Zeichnen Sie in ein geeignet gewähltes Koordinatensystem per Hand (ohne die Aufstellung von Funktionstabellen zu benutzen !!) die Graphen der folgenden Funktionen ein. Hinweis: Es ist jeweils aus der Verlauf der anderen Funktionskurven durch Streckung/Stauchung, Verschiebungen in Richtung der Achsen bzw. Spiegelungen an den Achsen zu entwickeln. Nutzen Sie dazu besondere Punkte (z.B. Nullstellen, Extremwerte) aus.

a) $y=f_{1}(x)=x^{2}$ :

b) $y=f_{1}(x)=e^{x}$ :

c) $y=f_{1}(x)=\sin x$ :

d) $y=f_{1}(x)=\cos x$ :
Zeichnen Sie mit einem geeigneten Computerprogramm jeweils in einem Koordinatensystem die Funktionen

a) und

b) $y=2e^{x+1}-2$ und $y=1-2e^{-x},$

c) $\;y=\frac 1x\sin x$ , $\;y=x\cos x$ und $y=e^{-2x}\sin x.$
a) Man berechne den Schnittpunkt der Geraden, die mit den Gleichungen und gegeben sind.
b) Man löse die Aufgabe graphisch.
c) Man bestimme so, dass die Gerade ebenfalls durch den Schnittpunkt verläuft.
Man bestimme die Gerade durch die zwei Punkte $P_{1(-2,3)},$ $P_{2(-1,10)}$ .
Man stelle die Parabel auf, die durch die drei Punkte $P_{1(-2,3)},$ $P_{2(-1,10)},$ $P_{1(3,-3)}$ festgelegt ist.